数字信号处理总结20240927

数字信号处理总结20240927

九月 26, 2024


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提纲

序列的基本运算

序列加法:把两序列同序号的序列值逐项对应相加。

序列乘法:把两序列同序号的序列值逐项对应相乘。

序列的倍乘 y(n)=ax(n)

把序列中所有序号下的序列值同乘一个常数a。

序列的移位 y(n)-x(n-m)

当 m 为正时,x(n-m)表示依次右移 m 个序数(延时);x(n + m)表示依次左移 m 个序数(超前)

序列的翻转 y(n)=x(-n)

以 n=0 为对称轴将 x(n) 加以反转的序列。

序列的尺度变换:抽取(压缩)和内插(扩展)

x(mn)表示序列每m点取一点,称为序列的压缩或抽取

x(n/m)表示把原序列两相邻值之间插入m-1个零值,称为序列的伸展或内插零值

卷积

$$
y(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}h(m)x(n-m)=x(n)*h(n)
$$

卷积符号(*)

x(n)和h(n)求卷积,表达式为*m从负无穷到正无穷x(m)乘于h(n-m)*,因为线性,因此可以交换。

  1. 图解法
    翻转:先在变量坐标m上作出 x(m)和 h(m),将 h(m)以m=0为对称轴翻转成 h(-m)。
    移位:将h(-m)移位n,即得h(n-m)。当n为正整数时,左移n位;当n为负整数时,右移-n位。
    相乘:再将 h(n-m) 和 x(m) 的对应点值相乘.
    相加:把以上所有对应点的乘积累加,得y(n)值。
  2. 序列阵表法
    对角元素相加。
  3. 多项式乘法
    将 x(n)和 h(n)写成多项式系数,进行多项式乘法运算。
  4. 对位相乘(有限长序列卷积)
    原则:
    两序列右对齐
    按位对应相乘不进位
    同列乘积值相加(注意n=0的位置)

讲稿

1. 序列的基本运算

首先,我们来看一下序列的加法和乘法。假设我们有两个长度相同的序列 ( x(n) ) 和 ( y(n) ):

  • 序列加法:把两序列同序号的值逐项相加,即:

    [
    z(n) = x(n) + y(n)
    ]

  • 序列乘法:把两序列同序号的值逐项相乘,即:

    [
    z(n) = x(n) \times y(n)
    ]

这两种运算的特点是序列长度相同,且相同位置上的元素进行对应运算

2. 序列的倍乘

倍乘运算是指序列中的每一个值都乘以同一个常数。设 ( x(n) ) 是原序列,常数为 ( a ),则倍乘后的序列为:

[
y(n) = a \times x(n)
]

这种运算的效果是将整个序列的幅值按比例放大或缩小。

3. 序列的移位

移位运算的含义是改变序列值所在的位置,从而引起序列的延时超前

  • 若序列为 ( x(n) ),移位后的序列为 ( y(n) = x(n - m) ),则表示序列右移 ( m ) 个位置,称为延时

  • 若移位后的序列为 ( y(n) = x(n + m) ),表示序列左移 ( m ) 个位置,称为超前

4. 序列的翻转

序列的翻转是以 ( n = 0 ) 为对称轴将序列反转,表达式为:

[
y(n) = x(-n)
]

翻转后的序列形状发生改变,但对称性保持不变。

5. 序列的尺度变换

尺度变换包含抽取内插两个操作:

  • 抽取:从原序列中每隔 ( m ) 个点取一个值,形成新的序列 ( x(mn) ),称为序列的压缩

  • 内插:在原序列中插入零值,将相邻值间的间隔扩展。插入 ( m-1 ) 个零值后,形成新的序列 ( x(n/m) ),称为序列的扩展内插

6. 序列的卷积

卷积是两个序列之间的重要运算,用于分析和合成系统输出。假设 ( x(n) ) 和 ( h(n) ) 是两个序列,它们的卷积定义为:

[
y(n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) h(n-m)
]

我们可以把卷积符号表示为 ( x(n) * h(n) )。卷积的结果就是两个序列按一定规则进行相乘并累加的运算结果。下面介绍几种常用的卷积求解方法:

  1. 图解法

    • 翻转:将 ( h(m) ) 以 ( m = 0 ) 为对称轴翻转,得到 ( h(-m) )。
    • 移位:将 ( h(-m) ) 向左或向右平移 ( n ) 个位置,形成 ( h(n-m) )。
    • 相乘:将 ( h(n-m) ) 和 ( x(m) ) 的每个对应值相乘。
    • 相加:将以上乘积的所有结果相加,得到卷积值 ( y(n) )。
  2. 序列阵表法

    • 将两个序列列出并对角相加,求得每一列的值,从而得到卷积结果。
  3. 多项式乘法

    • 将两个序列分别写成多项式,再进行多项式的乘法运算,得到卷积的结果。
  4. 对位相乘法(有限长序列)

    • 将两序列从右对齐,然后逐个位置相乘并累加,注意不进位相加

结语

以上是序列的基本运算和卷积的几种求解方法。序列的运算在信号处理、控制理论等领域具有广泛的应用。理解这些基本操作,将有助于分析更复杂的系统模型。


以上是正文内容。

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